新题型之数学运算――因式分解

因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式，它是中学数学中最重要的恒等变形之一,因式分解方法灵活,技巧性强,是我们解决许多数学问题的有力工具。其方法包括提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法以及拆项和添项法、待定系数法、双十字相乘法、轮换对称法等。

　　【例题1】分解7x²一l9x一6

　　解析:此题用十字相乘法。

对于mx²+px+q形式的多项式,如果a×b＝m,c×d＝q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)

1                             －3

    7        2

    2－21＝-19

　　则7x²一l9x一6=(7x+2)(x一3)

　　这是较为简单的试题,在公务员考试中不可能会出现,但其指导思想是需要掌握的,因为类似的变形试题在考试中会时常出现。

　　【例题2】分解x²+3x一40

　　解析:此题用配方法。

　　对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。

　　x²+3x-40

　　=x²+3x+2.25－42.25

　　=(x+1.5)²－(6.5)²

　　=(x+8)(x－5)

　　这种方法相对而言比上面的简明快捷,但需要仔细从题目中观察规律,找出配方的“点”,如此便豁然开朗。

　　【例题3】分解x⁴-x³-5x²-6x-4

　　解析:此题用待定系数法。

　　首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。

　　已知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。

　　解设x⁴-x³-5x²-6x-4=(x²+ax+b)(x²+cx+d)

　　=x⁴+(a+c)x³+(ac+b+d)x²+(ad+bc)x+bd

　　所以解得a=1,b=1,c=-2,d=-4

　　则x⁴-x³-5x²-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)

　　这种方法的特点就是化繁为简。

　　以下是应掌握的几种相关公式:

　　1.a²-b²=(a-b)(a+b)

　　2.a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

　　3.a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

　　4.a²+2ab+b²=(a+b)²

　　5.a²-2ab+b²=(a-b)²

　　6.a³±3a²b+3ab²+b3=(a±b)³

　　7.a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²

　　8.a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)

　　9.aⁿ-bⁿ=(a-b)(a^n-1+a^n-2b+…-b^n-1);n为正整数

　　10.aⁿ-bⁿ=(a-b)(a^n-1+a^n-2b+…+b^n-1);n为正偶数

11.aⁿ+bⁿ=(a+b)(a^n-1-a^n-2b+…b^n-1);n为正奇数